相似三角形的判定及有关性质(19)

(2)BC2＝BE·CD.

证明 (1)因为AC＝BD， 所以∠BCD＝∠ABC.

又因为EC与圆相切于点C，故∠ACE＝∠ABC， 所以∠ACE＝∠BCD.

(2)因为∠ECB＝∠BDC，∠EBC＝∠BCD， BCCD所以△BDC∽△ECB，故BE＝BC， 即BC2＝BE·CD.

考向三 圆内接四边形性质的应用

【例3】 (2013·辽宁三校联考)已知四边形PQRS是圆内接四边形，∠PSR＝90°，过点Q作PR、PS的垂线，垂足分别为点H、K. (1)求证：Q、H、K、P四点共圆； (2)求证：QT＝TS.

证明 (1)∵∠PHQ＝∠PKQ＝90°，∴Q、H、K、P四点共圆． (2)∵Q、H、K、P四点共圆，∴∠HKS＝∠HQP，① ∵∠PSR＝90°，∴PR为圆的直径， ∴∠PQR＝90°，∠QRH＝∠HQP，② 而∠QSP＝∠QRH，③

由①②③得，∠QSP＝∠HKS，TS＝TK，

又∵∠SKQ＝90°，∵∠SQK＝∠TKQ，∴QT＝TK，∴QT＝TS

.

(1)四边形ABCD的对角线交于点P，若PA·PC＝PB·PD，则它的四个

顶点共圆．

(2)四边形ABCD的一组对边AB、DC的延长线交于点P，若PA·PB＝PC·PD，