历届“希望杯”全国数学邀请赛(19)

21.答:不能实现.

理由:假设能够实现,不妨设中间小正方形的边长为x(x>0),左下角的正方形的边长为y(y>0),则左上角的正方形的边长为(y-x),右上角的正方形的边长为(y-2x),于是有右下角的正方形的边长为(y-3x)或(y+x). 所以,y-3x=y+x, 于是4x=0,得x=0.

与x>0矛盾,所以该同学的想法不能实现.

H

b,则257经过 22.(1)一个正整数n经达一次“H运算”的结果是b,记为:n H

257×3+13=784; 笫1次“H运算”:257

H

784×笫2次“H运算”:784

1

=49; 24

H

49×3+13=160; 笫3次“H运算”:49

H

160×笫4次“H运算”:160

1

=5; 25

H

5×3+13=28; 笫5次“H运算”:5

H

28×笫6次“H运算”:28

1

=7; 22

H

7×3+13=34; 笫7次“H运算”:7

1H

34×=17; 笫8次“H运算”:34

2

H

17×3+13=64; 笫9次“H运算”:17

H

64×笫10次“H运算”:64

1

=1; 26

H

1×3+13=16; 笫11次“H运算”:1

H

16×笫12次“H运算”:16

1

=1; 24

H

1×3+13=16; 笫13次“H运算”:1

H

16×笫14次“H运算”:16

1

=1; 24

从笫11步以后出现循环,奇数步的结果为16,偶数步的结果为1. 因此,笫257步后的结果为16.