历届“希望杯”全国数学邀请赛(20)

(2)若对一个正整数进行若干次“H操作”后出现循环,此时“H运算”②的运算结果总是a,则a一定是个奇数,那么,对a进行“H运算”①的结果a×3+13是偶数. 再对a×3+13进行“H运算”,即 a×3+13乘以于是

1

的结果仍是a, 2k

a 3 13

=a, 2k

k

也即a×3+13=a×2, 即a×(2-3)=13=1×13. 因为a是正整数, 所以2-3=1或2-3=13, 解得k=2或k=4. 当k=2时,a=13; 当k=4时,a=1.

23.为了用载重量5吨的汽车将救灾物品一次运走,我们应将不同规格的集装箱进行有效组合,即尽量使每一节汽车都能装满.

由题设可知,物资总重63.5吨,而12<63.5÷5<13,由此可知,要把救灾物品一次运走,需要的汽车不能少于13辆. 于是我们提出如下设计方案:

A类:每辆装4吨集装箱1个和1吨集装箱1个,按排3辆汽车; B类:每辆装3吨集装箱1个和1吨集装箱2个,按排4辆汽车; C类:每辆装2.5吨集装箱2个,按排2辆汽车;

D类:每辆装2.5吨、1.5吨、1吨集装箱各1个,按排1辆汽车; E类:每辆装1.5吨集装箱3个,按排3辆汽车; 而3+4+2+1+3=13(辆),

因此,要把救灾物品一次运走,需要汽车至少13辆.

k

k

k