历届“希望杯”全国数学邀请赛(6)

和的问题.因为所有线段长之和是BC的n倍, 则图中所有三角形面积之和就是SΔABC的n倍. 设DE=FG=x,则BD=CG=2x,EF=3x,BC=9x.

图中共有1+2+3+4+5=15个三角形,则它们在线段BC上的底边之和为 [BC+(BD+DC)+(BE+EC)+(BF+FC)+(BG+GC)]+[DG+(DE+EG)+(DF+FG)]+EF =9x×5+5x×3+3x =63x

由此可知BC上所有线段之和63x是BC=9x的7倍,所以图中所有三角形面积之和等于SΔABC 的7倍.已知SΔABC=1,故图中所有三角形的面积之和为7. 14.若x为方程的正根,则 x=ax+1 即(1-a)x=1. ∵ 1>0,x>0, ∴ 1-a>0

即a<1 ① 若x为方程的负根,则 -x=ax+1,即(1+a)x=-1. ∵ -1<0,x<0.

∴ 1+a>0 即a>-1 ②

要使原方程同时有正根和负根,则必须同时满足①和②,即-<a<1,这样的整数a只有a=0,即为所求.

15.设小明妈妈为这件生日礼物在银行存储了x元,年利率为3%,则三年后共得3000元,于是

3

x(1+3%)=3000

3

又 1.03=1.092727

∴ x=3000÷1.092727≈2746(元)(精确到个位). 16.由方程组

　① mx 2y 10　

　　② 3x 2y 0　

得(m+3)x=10

∵ 方程有整数解

10

　(m 3) m 3

15

代入②式得y= .

m 3

1015

为使 为整数且m为正整数,只能取m=2或m=7,为使为整数,只能m=2或

m 3m 3

∴ x=m=12. ∴ 要使

2

1015

, 均为整数的正整数只能为2,即m=2. m 3m 3

∴ m=4.

17.如图,设AB=a,BC=b,则SABCD=ab=300(平方米

)