历届“希望杯”全国数学邀请赛(5)

1a1a1a

x y z b 232323a

即 (x+y+z)=b

6

6b

∴ x+y+z=.选(C).

a

∴

7.∵ <a>表示不大于a的最大质数 ∴ <3>=3,<25>=23,<30>=29

∴ <3>×<25>×<30>=3×23×29=2001 又<2001>=1999. 选(B).

8.“甲”在第一行出现的位置是10m+1,m=0,1,2 ,“子”在第二行出现的位置是12n+1,n=0,1,2 .

∴ “甲”和“子”在同一列时应有 10m+1=12n+1 即 10m=12n

当m=n=0时第一次“甲”、“子”同列,第二次“甲”、“子”同列时应是使得10m=12n成立的最小正整数m和n，即m=6,n=5. ∴ 应是第61号位置. 选(B)

9.设a和b,满足题目条件,首先一定有a<b,如若不然,当a≥b时,

22

0≠ab=(a-b)+(b-a)(a-b)=(a-b)-(a-b)=0,矛盾. ∴一定有a<b,此时

22

(a-b)+(b-a)·∣a-b∣=2(a-b)=ab

2

∵ ab≠0.(a-b)≥0.

∴ ab>0,即(A)一定不成立.选(A).

10.按降序字典排列法,10个整式的次序如下: 9xzy,8xy,7xz,

34

3

32

12122323

xyz,-3xyz,xzy,-xyz,9yz,zy,0.3z25

易知9yz 在第8个位置.选(D). 二、11.设所求锐角为a,它的一半为-a,依题意得

,这个锐角的余角为90°-a,这个锐角的补角为180°2

+(90°-a)+(180°-a)=180° 2

解得a=60° 2

12.∵a+a=0

19991999

∴a(a+a)=a·0=0

20012000

即a+a=0

20012000

∴a+a+12=12

13.如题图所示的所有三角形均以A为一个顶点,一个底边在BC上,因此所有三角形都具有相等的高,于是可将计算所有三角形面积之和的问题转化为计算BC 上所有线段长度之