概率论与数理统计基础知识(10)

第五部分 定积分的基本性质

定积分性质

b

b

b

性质1

a

[f(x) g(x)]dx

a

f(x)dx g(x)dx．

a

这个性质可推广到有限多个函数的情形． 性质2

b

a

kf(x)dx k

b

a

f(x)dx （k为常数）．

性质3 不论a,b,c三点的相互位置如何，恒有

b

a

f(x)dx

c

a

f(x)dx

b

c

f(x)dx．

这性质表明定积分对于积分区间具有可加性． 牛顿－莱布尼茨公式

定理2 （ 牛顿(Newton)－莱布尼茨(Leibniz)公式 ） 如果函数F(x)是连续函数f(x)

在区间[a,b]上的一个原函数，则

定积分的计算

b

a

f(x)dx F(b) F(a)

1．定积分的分部积分法

设函数u(x)与v(x)均在区间[a,b]上有连续的导数，由微分法则d(uv) udv vdu，可得

udv d(uv) vdu．

等式两边同时在区间[a,b]上积分，有

b

a

udv (uv)a vdu． 定积分的分部积分公式，

a

b

b

例5 设f(x)在[ a,a]上连续，证明： (1) 若f(x)为奇函数，则

a

a

f(x)dx 0；