概率论与数理统计基础知识(15)

质，叙述于下（假定所出现的二重积分均存在）：

性质1 被积函数的常系数因子可以提到积分号外，即

kf(x,y)d k f(x,y)d (k为常数)．

D

D

特别，令 f (x, y)≡1，则有

． 1d （D的面积）

D

性质2 函数和（差）的二重积分等于各函数二重积分的和（差），即

[f(x,y) g(x,y)]d f(x,y)d g(x,y)d ．

D

D

D

性质3 如果区域D可以划分为D1与D2，其中D1与D2除边界外无公共点，则

f(x,y)d = f(x,y)d ＋ f(x,y)d ．

D

D1D2

例 1 设X与Y是两个相互独立的随机变量, X在[0, 1]服从均匀分布, Y的概率密度为

y

1 2

fY(y) 2e,

0,

y 0,

y 0.

求: (1) (X, Y)的概率密度； (2) P{X Y 1}; (3) P{X Y 3}.

解: (1)由已知X与Y相互独立, (X, Y)的概率密度为

y

1 2

f(x,y) fX(x)fY(y) 2e,

0,

1

0 x 1,y 0,

其他.

1 x

(2)P{X Y 1}

x y 11

f(u,v)dudv (

1 x 2

1 2

edy)dx2

y

(1 e

)dx 2e

1 2

1.

3 x

(3)P{X Y 3}

1

x y 3

f(u,v)dudv (

3 x 2

1

1 2

edy)dx2

y

(1 e

)dx 2e

3 2

2e 1 1.

例2 设(X,Y)的概率密度为