概率论与数理统计基础知识(17)

例4 设（X,Y）服从在D上的均匀分布,其中D为x轴, y轴及x+y=1所围成，求D(X). 解: E(X)

21 0 0033

11 x1211

E(X2) 2x2dydx 2x2(1 x)dx

000326111

D(X) = .

6918

11 x

2xdydx (2x 2x2)dx 1

1

二、 二重积分的计算

按照二重积分的定义计算二重积分，只对少数特别简单的被积函数和积分区域是可行的，对一般的函数和区域，这种“和式的极限”是无法直接计算的．下面我们介绍将二重积分转化为两次定积分来计算的方法，这是计算二重积分的一种行之有效的方法．

1．X—型区域上二重积分的计算

设D是平面有界闭区域，若穿过D的内部且平行于y轴的直线与D的边界相交不多于两点（如图示3），则称D为X—型区域．由图可知，此时区域D可以用不等式表示为

D： 1(x) y 2(x),

a x b．

图3

在区间[a，b]上任取一点x，过点x作与x轴垂直的直线，它与D相交于 1(x), 2(x)两点，

A(x)

2(x)

1(x)

f(x,y)dy，a x b．

b

因此

b

a

A(x)dx [

a

2(x)

1(x)

f(x,y)dy]dx

经过以上两步计算，f(x,y)相当于在区域D上累加了一遍。

f(x,y)d [

D

a

b

2(x)

1(x)

f(x,y)dy]dx． （1）

由此可见，二重积分可以化为两次定积分来计算．第一次对变量y积分，将x当作常数，