概率论与数理统计基础知识(19)

x [1,2]，过x作直线平行于y轴，交区域下边界为y 1，上边界为y x，则

12

I dx xydy [xy]dx

21111

2

x

2

x

1

2

1

x3 1x dx

9

8

2解法2. 将D看作Y–型区域, 则

D:y x 2,1 y 2

1

y [1,2]，过y作直线平行于x轴，交区域左边界为

x y，右边界为x 2，则

12

I dy xydx [xy]dy

2yy11

2

2

2

2

o

2

1

913

2y ydy 8

xy

xe dxdy，其中D为矩形域D：D

例2 计算二重积分

1 x 2，0 y 1．

解 采用先y后x的积分次序，则

xyxyxy

xedxdydxxedydxe dxyD

1

1

xy1

e0 dx1

e2 e 1.22

1

2

1

1

(ex 1)dx．

1

2

o注意： 例2中的二重积分若采用先x后y的积分次序，则

xe

D

xy

dxdy dy xexydx，函数xexy先对x积分时需要用分部积分法来计算，这将

1

12

使计算工作量增加（请读者自己完成，作一比较）．由此可见，计算二重积分要根被积函数选择适当的积分次序．

例3 计算积分

xydxdy，其中D是由抛物线y = x和直线y =

2

D

x－2所围成的闭区域．

解 ：易求抛物线y2 = x和直线y = x－2的交点为 （1，-1）和 （4，2）

积分区域如图示5所示．D看作Y–型区域,