概率论与数理统计基础知识(8)

注意：

f(ax b)dx

1

f(ax b)d(ax b) a

由上面的解题可发现，变量u只是一个中间变量，在求不定积分的过程中，只是起过渡作用，最终都要换回到原来的积分变量。因此，在较熟练之后，可以采用不直接写出中间变量的做法。 例如：

2cos2xdx cos2xd2x sin2x C

2d(3 2x) 3 2x 3 2x ln|3 2x| C

通过以上例题，可以归纳出如下一般凑微分形式：

f(ax b)dx f(ex)exdx f(lnx)

dx

x

1a

f(ax b)d(ax b) (a 0)；

f(ex)dex；

f(lnx)dlnx；

f(cosx)sinxdx f(cosx)dcosx； f(sinx)cosxdx f(sinx)dsinx；

f(tanx)sec2xdx

f(tanx)dtanx；

f(arctanx)

dx

2

1 x

f(arctanx)darctanx；

等等．

第二类换元法

1 1 1 1f 2dx f d x x x x

f(x)dx

x (t)

1

f[ (t)] (t)dt (t) C (x) C

2、 分部积分法

利用复合函数微分法则导出了换元积分法，它能解决许多积分问题，但仍有许多类型的积分用换元法也不能计算，例如xexdx、x2cosxdx、arctanxdx等等

本节我们用乘积的微分公式导出另一种重要的积分方法——分部积分法，可以解决许多积分问题．

设u(x)、v(x)是两个可微函数，由

d(uv) vdu udv

得