概率论与数理统计基础知识(11)

(2) 若f(x)为偶函数，则

a

a

f(x)dx 2

a

f(x)dx．

小结：

1．定积分换元积分定理：

b

a

f(x)dx f (t) (t)dt．

注意：换元必换限， 下限对下限，上限对上限

2．定积分分部积分法：设函数u(x)与v(x)均在区间[a,b]上有连续的导数，则有

(1) 若f(x)为奇函数，则(2) 若f(x)为偶函数，则

b

a

udv (uv)a vdu．

a

b

b

3．对称区间上的积分：设f(x)在[ a,a]上连续，则有

a

aa

f(x)dx 0； f(x)dx 2

a0

a

f(x)dx．

广义积分

1．设f(x)在积分区间上连续，定义

a

f(x)dx limf(x)dx lim

b a

b

f(x)dx

b

a a

b

f(x)dx，

c

f(x)dx

c

f(x)dx

f(x)dx．

变上限的积分

如果f(x)在区间[a,b]上连续，则有

x

a

f(t)dt f(x)．

例一 设随机变量X的概率密度为

0 x 1, x,

f x 2 x,1 x 2,

0,其他.