概率论与数理统计基础知识(20)

采用先x后y的积分次序，则将区域D表示为

D：y2 x y+2，－1 y 2．

故有

xydxdy

D

2

1

dy 2

y

y 2

x2

xydx

12

2

y dy y2

图5

2

y 2

12

y(y 2)2 y5dy 2 1

y6 1 y4432

y 2y 2 436 15 5．

8

注意 本例若D看作X–型区域，采用先y后x的积分次序，由于区域D的下边界曲线，需要用分段函数表示：当x∈[0，1]时， 1(x) x；当x∈[1，4]时， 1(x) x 2．将D划分为D1、D2两个部分区域(如图6)，其中

D1：

x y x,0 x 1；

x,1 x 4．

D2：x 2 y

由此可利用二重积分的区域可加性计算

此积分：

xydxdy xydxdy xydxdy．

D

D1

D2

图6

将D1、D2的表示式代入上式化为两个累次积分后可计算出积分结果．显然，这次序比较麻烦．

将二重积分I =例4 设D是由y = x2, y =－x和 x = 1所围成的闭区域，为累次积分（两种次序）．

解 区域D如图示7所示．

（1）将D看作Y–型区域, 先x后y: D应表为D = D1∪D2，其中

D1： y x 1, 1 y 0； D2：

故

f(x,y)d 化

D

y x 1,0 y 1．

I f(x,y)d f(x,y)d

D1

D2

1

dy f(x,y)dx dy y

111y

f(x,y)dx.

（2）将D看作X–型区域, 先y后x：