概率论与数理统计基础知识(14)

求

z

时，把x看作常量，而对y求导数。 y

例1求z

x2 3xy y2在点(1,2)处的偏导数。

z z

解法1： 2x 3y, 3x 2y

x y

则

z

x

8 ,

(1,2)

z y

7

(1,2)

解法2：

f(x,2) x2 6x 4， f(1,y) 1 3y y2

则

fx(1,2) 2x 6x 1 8

fy(1,2) 3 2yy 2 7

主要用于第三章的二维随机变量的分布函数的求导 例一 设(X, Y)的概率密度为

8xy,

f(x,y)

0,

0 x y,0 y 1,

其他.

求：关于X 及关于Y的边缘概率密度, 并判断X与Y是否相互独立. 解：关于X的边缘概率密度fX(x) 当0 x 1时, fX(x)

f(x,y)dy.

x

8xydy 4x3,

当x 0或x 1时 , fX(x) 0,

4x3,

所以fX(x)

0,

0 x 1,其他.,

12 8xydx，0 y 1, 4y(1 y),

同理fY(y) y

其他,0, 0，

0 y 1,

其他,

当0 x 1,0 y 1时,f(x,y) fX(x)fY(y), 所以X与Y不独立.

第七部分 二重积分的性质

由于二重积分的定义与定积分的定义是类似的，因而二重积分有与定积分类似的性