概率论与数理统计基础知识(18)

积分区间是区域D的下边界的点到对应的上边界的点．第二次对x积分，它的积分限是常数．这种先对一个变量积分，再对另一个变量积分的方法，称为累次(或二次)积分法．公式（1）是先对y后对x的累次积分公式，通常简记为

D

f(x,y)d dx

a

b

2(x)

1(x)

f(x,y)dy．

2．Y—型区域上二重积分的计算 设D是平面有界闭区域，若穿过D的内部且平行于x轴的直线与D的边界相交不多于两点（如图示4），则称D为Y—型区域．由图可知，此时区域D可以用不等式表示为

D： 1(y) x 2(y),

c y d．

图4

利用与前面相同的方法，可得先对x后对y的累次积分公式： 通常简记为

D

f(x,y)d [

c

d

2(y)

1(y)

f(x,y)dx]dy． （2）

f(x,y)d cdy (y)

D

1

d

2(y)

f(x,y)dx． （3）

3．一般区域上二重积分的计算

如果区域D不属于上述两种类型，则二重积分不能直接利用公式(1)、(3)来计算．这时可以考虑将区域D划分成若干个小区域，使每个小区域或是X—型区域、或是Y—型区域．在每个小区域上单独算出相应的二重积分，然后利用二重积分对区域的可加性即可得所求的二重积分值．

例1

计算二重积分I

D

xyd ,其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及y＝x 所围的闭区域。

解法1. 将D看作X–型区域, 则

2

1

D:1 y x,1 x 2

o