罗尔、拉格朗日、柯西中值定理、洛必达法则与(10)

内容概要名称 3.3 泰 勒公式 主要内容(3.3)

泰勒中值定理：如果

f (x) 在含有 x0 的某个开区间 (a,b) 内具有 n 1 阶的导数，则对任一

x (a,b) ,有 f ( x) f ( x0 ) f / ( x0 )(x x0 )

f // ( x0 ) ( x x0

) 2 2!

f ( n ) ( x0 ) ( x x0 ) n Rn ( x) ,此公式称为 n 阶泰勒公式； n!

其中

f ( n 1) ( ) Rn ( x) ( x x0 ) n 1 ( (n 1)!

介于

,称为拉格朗日型余项；或 x0 于 x 之间)

Rn ( x) o[(x x0 ) n ] ,称为皮亚诺型余项。

n 阶麦克劳林公式：f ( x) f (0) f / (0) x f // (0) 2 f ( n ) (0) n x x Rn ( x) 2! n!

其中 Rn ( x)

f ( n 1) ( x) n 1 x ( 0 1 )或 Rn ( x) o( x n ) 。 (n 1)!x

常用的初等函数的麦克劳林公式：1) e

1 x

x2 xn o( x n ) 2! n!

习题3-3

★1.按(x

1)的幂展开多项式f(x) x4 3x2 4。

知识点：泰勒公式。

思路：直接展开法。求f(x)按(x

x0)的幂展开的n阶泰勒公式，则依次求f(x)直到n 1阶的导

数在x

x0处的值，然后带代入公式即可。

32

解：f (x) 4x 6x，f (1) 10；f (x) 12x 6，f (1) 18；

f (x) 24x，f (1) 24；f(4)(x) 24；f(4)(1) 24；f(5)(x) 0；

将以上结果代入泰勒公式，得

f (1)f (1)f (1)f(4)(1)23

f(x) f(1) (x 1) (x 1) (x 1) (x 1)4

1!2!3!4!

8 10(x 1) 9(x 1)2 4(x 1)3 (x 1)4。

★★2.求函数

f(x) x按(x 4)的幂展开的带有拉格朗日型余项的三阶泰勒公式。

知识点：泰勒公式。

思路：同1。 解：f (x)

，

111 3

f (4) ；f (x) x2，f (4) ；

4324

7

33 515 2(4)

f (x) x2，f (4) (x) x；将以上结果代入泰勒公式，得 ；f

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