罗尔、拉格朗日、柯西中值定理、洛必达法则与(20)

∴而

f(x) x sinx在( , )内严格单增；

f (x) 1 cosx在(2kπ,(2k 1)π)内严格单减，在((2k 1)π,2kπ)内严格单增，从而在

( , )上不单调。

★★7.求下列函数图形的拐点及凹凸区间：

（1）

y x

1x(x 0)； （2）y x 2 ； （3） y xarctanx； xx 1

（4）

y (x 1)4 ex； （5） y ln(x2 1)； （6）y earctanx 。

知识点：导数的应用。

思路：利用二阶导数的符号判断函数的凹凸性；求拐点和凹凸区间，用二阶导数为零的点及不可导点，将

定义域划分成若干个区间，然后在每个区间上判断函数的凹凸性；如果划分定义域的点有两个或以上，可列表讨论，使得思路更清晰一些。

解：（1）y 1

∴

12

y ，，∵当x 0时，y 0， 22

xx

1

在[0, )上为凹函数，没有拐点。 x

x

1) (1, )； （2）y x 2的定义域为( , 1) ( 1,

x 1y x

1 x22x(x2 3)

，y ，令y 0，得x 0； y 1 2

223

(x 1)(x 1)

当x

1或0 x 1时，y 0；当 1 x 0或x 1时，y 0；

∴

y x

x

的凹区间为( 1,0)、(1, )，凸区间为( , 1)、(0,1)；∴拐点为(0,0)。

x2 1

x2

y 0， ，22

1 x2(1 x)

（3） ∴

y xarctanx的定义域为( , )，y arctanx

y xarctanx在整个定义域上为凹函数，没有拐点。

（4）

y (x 1)4 ex的定义域为( , )，y 4(x 1)3 ex，

y 12(x 1)2 ex 0，∴y (x 1)4 ex在整个定义域上为凹函数，没有拐点。

2x2(1 x2)

（5） y ln(x 1)的定义域为( , )，y ，y ， 222

1 x(1 x)

2

令y 0，得x1,2 1；列表讨论如下：