罗尔、拉格朗日、柯西中值定理、洛必达法则与(14)

11( 1)

1311111 lim[x(1 2 o(2))] x(1 ( ) 2 o(2))]

x 3x2x2xxx

1911 lim( o()) 。 x 28xx211

1 x2 x21 x2 (1 x2)2

（2）lim lim22

x 0

(cosx ex)sinx2x 0(cosx ex)x2

1

11( 1)

141212x o(x4)1 x (1 x )x4 o(x4)

18。 lim lim 24x 0x 012x3x

(1 o(x2) (1 x2 o(x2)))x2 o(x4)

22

x2

ln(1 x)。 ★★10.设x 0，证明：x 2

知识点：泰勒公式。

思路：用泰勒公式证明不等式是常用的一种方法。特别是不等式的一边为某个函数，另一边为其幂级数展

开的一部分时，可考虑用泰勒公式。

x2x3

解：ln(1 x) x

23(1 ξ)3x3

（ξ介于0与x之间），∵ x 0，∴ 0， 3

3(1 ξ)

，结论成立。

x2x3x2

从而ln(1 x) x x 3

23(1 ξ)2

（也可用§3.4函数单调性的判定定理证明之）

★★11.证明函数

f(x)是n次多项式的充要条件是f(n 1)(x) 0。

知识点：麦克劳林公式。

思路：将f(x)按照麦克劳林公式形式展开，根据已知条件，得结论。 解：必要性。易知，若f(x)是n次多项式，则有f

(n 1)

(n 1)

(x) 0。

f (0)x2

f(x) f(0) f (0)x

2!

充分性。∵

f(x) 0，∴f(x)的n阶麦克劳林公式为：

f (0)x2f (0)x3f(n)(0)xnf(n 1)(ξ)xn 1

f(0) f (0)x

2!3!n!(n 1)!

f (0)x3f(n)(0)xn

，即f(x)是n次多项式，结论成立。

n!3!

★★★12.若

f(x)在[a,b]上有n阶导数，且f(a) f(b) f (b) f (b) f(n 1)(b) 0