罗尔、拉格朗日、柯西中值定理、洛必达法则与(12)

113n 1

(x 2) ( 1)(x 2)n o((x 2)n)。 3n

3 2n 2

1

★★5.求函数f(x) 按(x 1)的幂展开的带有拉格朗日型余项的n阶泰勒公式。

x

知识点：泰勒公式。

思路：直接展开法，解法同1；或者间接展开法，f(x)为有理分式时通常利用已知的结论

11n 1

。 1 x x2 xn xn 2

1 x(1 )

方法一：f (x)

1

x2

，

f ( 1) 1；f (x)

2x3

，

f ( 1) 2；f (x)

6x4

，

f ( 1) 6 ,f(n)(x) ( 1)n

将以上结果代入泰勒公式，得

n!n!(n)n

，f( 1) ( 1) n!； n 1n 1

x( 1)

1f ( 1)f ( 1)f ( 1)

f( 1) (x 1) (x 1)2 (x 1)3 x1!2!3!

f(n)( 1)f(n 1)(ξ)n (x 1) (x 1)n 1

n!(n 1)!

( 1)n 1

1 (x 1) (x 1) (x 1) (x 1) n 2(x 1)n 1（ξ

ξ

2

3

n

介于x与 1之间）。

方法二：

11

[1 (x 1) (x 1)2 (x 1)3 (x 1)n x1 (x 1)

( 1)n 1( 1)n 123nn 1

n 2(x 1)] 1 (x 1) (x 1) (x 1) (x 1) n 2(x 1)n 1

ξξ

（ξ介于x与 1之间）。

★★6.求函数

y xex的带有皮亚诺型余项的n阶麦克劳林展开式。

知识点：麦克劳林公式。

思路：直接展开法，解法同1；间接展开法。f(x)中含有e时，通常利用已知结论

x

x2xne 1 x o(xn)。

2!n!

x

方法一：y (x 1)e，y (0) 1；y (x 2)e，y (0) 2； ,y

xx(n)

(x n)ex，

y(n)(0) n，将以上结果代入麦克劳林公式，得