罗尔、拉格朗日、柯西中值定理、洛必达法则与(9)

知识点：函数在一点连续的概念。

思路：讨论分段函数在分段点处的连续性，要利用函数在一点处左、右连续的概念。

(1 x)解：∵limf(x) lim[ e

x 0 x 0 e e

1 1lim2x 0 1 x

1

1(1 x)xlimln

ex 0 x

ex 0

lim

ln(1 x) x

x2

e

1

1lim

x 0 2x

e

12

f(0)，∴f(x)在x 0处右连续；

12

又∵

x 0

limf(x) e f(0)，∴f(x)在x 0处左连续；

从而可知，

(1 x)x 0 [],

在点x 0处连续。 f(x) e

x 0

e,

★★★5.设

g(x)在x 0处二阶可导，且g(0) 0。试确定a的值使f(x)在x 0处可导，并求

f (0)，其中

g(x)

,x 0

f(x) x 。

x 0 a ,

知识点：连续和可导的关系、洛必达法则。

思路：讨论分段函数在分段点处的连续性、可导性，一般考虑利用定义。 解：要使f(x)在x 0处可导，则必有f(x)在x 0处连续，

又∵g(x)在x

0处g(0) 0，∴a limf(x) lim

x 0

x 0

g(x)g(x) g(0)

lim g/(0)； x 0xx 0

g(x)

g (0)

f(x) f(0)g(x) g (0)x

由导数定义，f (0) lim lim lim2x 0x 0x 0x 0x 0x

g (x) g (0)1 lim g (0)。 x 02x2