罗尔、拉格朗日、柯西中值定理、洛必达法则与(16)

习题3-4

★1.证明函数

y x ln(1 x2)单调增加。

知识点：导数的应用。

思路：利用一阶导数符号判断函数的单调性是常用的方法。在某个区间I上，f (x) 0（f (x) 0），

则

f(x)在I

单调增加（减少）。

2x(1 x)2

0（仅在x 1处y 0）证明：∵y 1 ， 22

1 x1 x

∴

y x ln(1 x2)在( , )内是单调增加的。

f(x) x sinx(0 x 2π)的单调性。

★2.判定函数

解：∵f (x) 1 cosx 0（仅在x π处f (x) 0），

∴

f(x) x sinx(0 x 2π)是单调增加的。

1382

x x2 3x 1； （2）y 2x (x 0)； （3）y x x23x3

★★3.求下列函数的单调区间：

（1）

y

；

（4）

y ln(x x2)； （5）y (1 x)x； （6）y 2x2 lnx。

知识点：导数的应用。

思路：利用一阶导数符号判断函数的单调性。求函数的单调区间，用导数为零的点及不可导点，将定义域

划分成若干个区间，然后在每个区间上判断函数的单调性；如果划分定义域的点有两个或以上，可列表讨论，使得思路更清晰一些。

解：（1） y

得x1

13

x x2 3x 1的定义域为( , )；令y x2 2x 3 0， 3

1，x2 3。列表讨论如下：