罗尔、拉格朗日、柯西中值定理、洛必达法则与(4)

使得

f (ξ)

f (ξ2) f (ξ1)

0。

ξ2 ξ1

★★★15.设

f(x)在[a,b]上可微，且f (a) 0,f (b) 0,f(a)

f(b )

/

试证明f(x)在A,

(a,b)内至少有两个零点。

知识点：极限的保号性、介值定理、微分中值定理。

思路：要证明在某个区间(a,b)内导函数至少存在两个零点，只要证该函数在[a,b]上有三个零点，即可

以利用罗尔中值定理，得出结论。

证明：∵f (a) lim

f(x) f(a)

0，由极限的保号性知，

x ax a

b-af(x) f(a)

0， ），对于 x (a,δ1)，均有 (a,δ1)（不妨设δ1

2x a

特别地， x1 (a,δ1)，使得

f(x1) f(a)

0，∴得f(x1) f(a) A；

x1 a

b-a2

），使得

同理，由

f (b) 0,得 x2 (b,δ2)（δ2

f(x2) f(b)

0，

x2 b

从而得又∵∵

f(x2) f(b) A；

f(x)在[x1,x2]上连续，∴由介值定理知，至少有一点ξ (x1,x2)使得f(ξ) A；

f(x)在[a,ξ]、[ξ,b]上连续，在(a,ξ)、(ξ,b)内可导，且f(a) f(ξ) f(b) A，

∴由罗尔中值定理知，至少有一点ξ1 (a,ξ)、ξ2

★★★16.设

(ξ,b)，使得f (ξ1) f (ξ2) 0，结论成立。

f(x)在闭区间[a,b]上满足f (x) 0，试证明存在唯一的c,a c b，使得

f (c)

f(b) f(a)

。

b a

知识点：微分中值定理或函数单调性的应用。

思路：证明唯一性的题目或考虑利用反证法；或正面论述。此题用反证法和罗尔中值定理，或利用函数的

单调性得出结论。

证明：存在性。

∵

f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，∴由拉格朗日中值定理知，至少有一点c (a,b)，使得

f(b) f(a)

。

b a

f(b) f(a)

，

b a

f (c)

唯一性的证明如下：

方法一：利用反证法。假设另外存在一点d (a,b)，使得f (d)