罗尔、拉格朗日、柯西中值定理、洛必达法则与(15)

证明在(a,b)内至少存在一点ξ，使

f(n)(ξ) 0(a ξ b)。

知识点：泰勒中值定理、拉格朗日中值定理。 思路：证明f

(n)

(ξ) 0(a ξ b)，可连续使用拉格朗日中值定理，验证f(n 1)(x)在[a,b]上满足

f(x)在x b处的泰勒展开式及已知条件得结论。

罗尔中值定理；或者利用泰勒中值定理，根据

方法一：∵ f(x)在[a,b]上可导，且f(a) f(b)，

∴由罗尔中值定理知，在(a,b)内至少存在一点ξ1，使得∵

f (ξ1) 0；

f (x)在[ξ1,b] [a,b]上可导，且f (b) 0，

∴由罗尔中值定理知，在(ξ1,b)依次类推可知，

(a,b)内至少存在一点ξ2，使得f (ξ2) 0；

f(n 1)(x)在[ξn 1,b] [a,b]上可导，且f(n 1)(ξn 1) f(n 1)(b) 0，

f(n)(ξ) 0。

∴由罗尔中值定理知，在(ξn 1,b) (a,b)内至少存在一点ξ，使得

方法二：根据已知条件，f(x)在x b处的泰勒展开式为：

f (b)f(n 1)(b)f(n)(ξ)2n 1

f(x) f(b) f (b)(x b) (x b) (x b) (x b)n

2!(n 1)!n!

f(n)(ξ)

(x b)n(x ξ b)，

n!

∴

f(n)(ξ)

(a b)n 0，从而得f(n)(ξ) 0，结论成立。

f(a)

n!