罗尔、拉格朗日、柯西中值定理、洛必达法则与(2)

∴

f (x) 0有3个实根，分别为ξ1 (1,2)、ξ2 (2,3)、ξ3 (3,4)。

★★★11.证明下列不等式：

（1）

arctana arctanb a b ； （2） 当 x

1时，ex ex ；

。

（3） 设 x

11

0，证明ln(1 x) x； （4） 当x 0时，ln(1 )

x1 x

知识点：利用拉格朗日中值定理。

思路：用拉格朗日中值定理证明不等式的过程：寻找函数y f(x)，通过式子f (ξ)

（或

f(b) f(a)b a

f(b) f(a) f (ξ)(b a)）证明的不等式。

证明：（1）令f(x) arctanx， ∵f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，

∴由拉格朗日中值定理，得

arctana arctanb f (ξ)(b a)

1

b a b a2

1 ξ

。

（2）令

f(x) ex(x 1)，∵f(x)在[1,x]上连续，在(1,x)内可导，

x

∴由拉格朗日中值定理，得e∵1

e eξ(x 1)，

ξ x，∴ex e eξ(x 1) e(x 1) ex e，从而当 x 1时，ex ex。

（3）令

f(x) ln(1 x)(x 0)，∵f(x)在[0,x]上连续，在(0,x)内可导，

∴由拉格朗日中值定理，得ln(1 x) ln(1 x) ln(1 0) f (ξ)(x 0)

1

x， 1 ξ

∵0 ξ x，∴

1

x x，即x 0， ln(1 x) x。 1 ξ

（4）令

f(x) lnx(x 0)，∵f(x)在[x,1 x]上连续，在(x,1 x)内可导，

∴由拉格朗日中值定理，得ln(1

11

) ln(1 x) lnx f (ξ)(1 0) xξ

。

，

∵x ξ 1 x，∴

1111

，即当x 0时，ln(1 )

x1 xξ1 x

★★12.证明等式：2arctanx arcsin

2x

π(x 1).

1 x2

知识点：f (x) 0 f(x) C（C为常数）。

思路：证明一个函数表达式f(x)恒等于一个常数，只要证f (x) 0