罗尔、拉格朗日、柯西中值定理、洛必达法则与(18)

∴

11

y 2x2 lnx在(0,)内严格单增，在(, )内严格单减。

22

0时，1

★★4.证明下列不等式：

1

x x； （2）当x 4时，2x x2； 2

π1

1 x) arctanx； （4）0 x 时，tanx x x3。 （3）当x 0时，(1 x)ln(

23

（1） 当x

知识点：导数的应用或者泰勒公式的应用。

思路：利用泰勒公式可以证明一些不等式（见习题3-3第10题），利用函数单调性也是证明不等式常用的

方法。

解：（1）方法一：令f(x) 1

则当x

1

x x， 2

0时，f (x)

111 (1 ) 0， 22 x

∴

f(x) 1

1

x x在[0, )上严格单增；从而f(x) f(0) 0， 2

即1

1

x x，结论成立。 2

方法二：由泰勒公式，得

111

f(x) 1 x x 1 x (1 x

222

∴

x28(1 ξ)

3

2

)

x28(1 ξ)

32

（0 ξ x），

f(x)

x28(1 ξ)

3

2

0，从而得1

1

x x，结论成立。 2

（2）方法一：令

f(x) 2x x2，则当x 4时，f (x) 2xln2 2x，

f (x) 2xln22 2 f (4) 16ln22 2 (ln42)2 2 (lne2)2 2 0，

∴

f (x) 2xln2 2x在(4, )内严格单增，

f (x) 2xln2 2x f (4) 16ln2 4 4(ln16 1) 0，

从而∴

f(x) 2x x2在(4, )内严格单增，在(4, )内f(x) 2x x2 f(4) 8 0，

x

∴2

x2，结论成立。

注：利用f (x)的符号判断f (x)的单调性，利用f (x)的单调性判断其在某区间上的符号，从而得出

f(x)在某区间上的单调性，也是常用的一种方法。

方法二：令f(x) xln2 2lnx，