罗尔、拉格朗日、柯西中值定理、洛必达法则与(13)

f (0)f (0)2f (0)3f(n)(0)n

xe f(0) x x x x o(xn)

1!2!3!n!

x

x3xn

x x o(xn)。

2!(n 1)!

2

x2xn 1x3n 12

方法二：xe x(1 x o(x)) x x

2!(n 1)!2!

x

xn

o(xn)。

(n 1)!

1

★★7.验证当0 x

2

x2x3

时，按公式e 1 x 26

x

计算e的近似值时，所产生的误差小于

x

0.01，并求的近似值，使误差小于0.01。

知识点：泰勒公式的应用。

思路：利用泰勒公式估计误差，就是估计拉格朗日余项的范围。

解：

111eξ4e4211

0.646。 ；e 1 R3(x) x x 0.014

28484!4!4!2192

5，求ln1.2的近似值，并估计其误差。

1

2

★★8.用泰勒公式取n

知识点：泰勒公式的应用。

1 x)，则解：设f(x) ln(

f (0)f (0)2f(5)(0)5

f(x) f(0) x x x

1!2!5!

x2x5

x

52

误差为：

0.220.230.240.25

0.1823；其，从而ln1.2 f(0.2) 0.2 2345

10.266

。 R5(x) x 0.00001076

66(1 ξ)

★★★9.利用函数的泰勒展开式求下列极限：

12

x x2

32（1） lim(x 3x x x)； （2）lim2

x 0x

(cosx ex)sinx2

1

。

知识点：泰勒展开式的应用。

思路：间接展开法。利用已知的结论将函数展开到适当的形式，然后利用极限的运算性质得到结果。

31

解：（1）lim(x 3x x x) lim[x(1 2)3 x(1 )2]

x x xx

3

2

11