罗尔、拉格朗日、柯西中值定理、洛必达法则与(19)

当x∴

4时，f/(x) ln2

2111

ln2 ln4 0， x222

f(x) xln2 2lnx在(4, )内严格单增，

f(x) xln2 2lnx f(4) 4ln2 2ln4 0，从而有，xln2 2lnx，

xln2

∴∴e

e2lnx，即2x x2，结论成立。 f(x) (1 x)ln(1 x) arctanx，

1

0（仅在x 0时，f (x) 0）， 2

1 x

（3）令则当x∴

0时有f (x) ln(1 x) 1

f(x)在[0, )上严格单增，从而有f(x) f(0) 0，

x)ln(1 x) arctanx，结论成立。

tanx x，则当0 x

即(1

π22

时，有g (x) secx 1 tanx 0 2

ππ

从而g(x) tanx x在(0,)内严格单增，∴g(x) g(0) 0，即在(0,)内tanx x；

2213

再令f(x) tanx x x，

3

π2222

则当0 x 时，f (x) secx 1 x tanx x 0，

2

13π

从而f(x) tanx x x在(0,)内严格单增，∴f(x) f(0) 0，

32

π13

即在(0,)内tanx x x，结论成立。

23

★★★5.试证方程sinx x只有一个实根。

（4）令g(x)

知识点：导数的应用。

思路：利用导数的符号判断函数的单调性，进而讨论方程的根是常用的方法。 解：易知，sin0 0，即x 0是方程的一个根；

令∴

f(x) x sinx，则f (x) 1 cosx 0（仅在x 2kπ(k Z)处f (x) 0）， f(x) x sinx在( , )内严格单增，从而f(x)只有一个零点，

x x只有一个实根。

即方程sin

★★6.单调函数的导函数是否必为单调函数？研究例子：

f(x) x sinx。

知识点：导数的应用。

思路：利用一阶导数符号判断单调性，从而证明结论。 解：单调函数的导函数不一定为单调函数。

∵

f (x) 1 cosx 0（仅在x (2k 1)π(k Z)处f (x) 0），