罗尔、拉格朗日、柯西中值定理、洛必达法则与(7)

1u

1x（或解为：limx

x 0

2x2

e

eueu

lim lim ） u uu 1

1

x

1

1 2ex11

(e 1) lim limex 1； （10）limx(ex 1) lim

x x x x 11

2

xx

1

1e1/x 11/xx

lim 1） （或解为：∵当x 时，e 1~，∴limx(e 1) lim

x x 1/xx 1/xx

1

x

11ex 1 x(e 1)~xex 1 xex 11

（11）lim( x) lim lim lim ； x2x 0xx 0x 0x 0e 1x(e 1)x2x2

x

（12）lim(

x 1

x1xlnx x 1

) lim lim

x 1x 1x 1lnx(x 1)lnx

lnx1 lnx1

lim ； x 1x 1lnx 22lnx

x

xlnx x 1u x 1(u 1)ln(u 1) uln(u 1)~u(u 1)ln(u 1) u

lim lim（或解为：lim 2x 1(x 1)lnxu 0u 0uln(u 1)u

lim

ln(u 1)1

）

u 02u2

alimxln(1 )x x

（13）lim(1

x

ax

) ex

x 0

e

lim

aln(1 )

xlim

x

x

e

alimxx x

ea；

lim

tanxsinx x

（14）

x 0

limxsinx e

limsinxlnx

lnx

e

x 0 cscx

e

x 0 xcotxcscx

lim

1

e

x 0

e0 1；

1tanx

lime（15）lim()

x 0 xx 0

lnx

lim x 0cotx

lime

x 0

1

lim2 x 0 cscx

lime

x 0

sin2x

xx 0 lim

e0 1；

1

ex ln(1 x) 1(1 x2)(xex ex 1)x 1（16）lim lim limx 0x 0x 0x arctanx(x 1)x2

1

1 x2

ex

(xex ex 1)xex1 lim lim ；

x 0x 02xx22

（17）lim(1 sinx)

x 0

1

x

lime

x 0

ln(1 sinx)x 0xlim

lime

x 0

cosx

x 01 sinxlim

e；