罗尔、拉格朗日、柯西中值定理、洛必达法则与(3)

2x

(x 1)，

1 x2

当x 1时，有2arctan1 arcsin1 π；当x 1时，有

证明：令f(x) 2arctanx arcsin

2

f (x) 2

1 x

2(1 x2) 2x 2x212 2x2

22222

(1 x)1 x x(1 x)；

22

( ) 0，∴f(x) C f(1) 1 x21 x2

2x

π(x 1)成立。 ∴2arctanx arcsin2

1 x

★★★13.证明：若函数

f(x)在(- , )内满足关系式f (x) f(x)，且f(0) 1，则f(x) ex。

知识点：f (x) 0 f(x) C

思路：因为 f(x) ex e xf(x) 1，所以当设F(x) e xf(x)时，只要证F (x) 0即可 证明：构造辅助函数F(x) e xf(x)，

则F (x) e∴F(x) e∴

x x

f (x) e xf(x) 0；

f(x) C F(0) 1

f(x) ex。

f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内有二阶导数，且有

f(a) f(b) 0,f(c) 0(a c b) ，

★★★14.设函数

试证在(a,b)内至少存在一点ξ，使f (ξ) 0。

知识点：拉格朗日中值定理的应用。 思路：关于导函数f

(n)

(ξ)在一点处符号的判断，根据已知条件和拉格朗日中值定理的结论，逐层分析

各层导函数改变量和自变量改变量的符号，得出结论。

证明：∵ f(x)在[a,c]、[c,b]上连续，在(a,c)、(c,b)内可导，

∴由拉格朗日中值定理，至少有一点ξ1 (a,c)、ξ2使得又

(c,b)，

f (ξ2)

f(c) f(b)f(a) f(c)

0，f (ξ1) 0；

c ba c

f (x)在[ξ1,ξ2]上连续，在(ξ1,ξ2)内可导，从而至少有一点ξ (ξ1,ξ2)，