罗尔、拉格朗日、柯西中值定理、洛必达法则与(8)

1x

（18）lim(ln) e

x 0 x

ln[ lnx]

lim x 0

x

e

11 ( )lim x 0 2

x

e

lim

x

x 0 lnx

e

lim

1

x 0 1/x

1；

11 x2

1

x x2

（19）

x

lim(x x2) e

12

f(x) (xtan)x

x

2t2tant

lim

2t3

1x

ln(x 1 x2)x xlim

e

x

lim

x x2

e

x

lim

1；

lntant lnt

t（20）令

lim1x2tanttt 0

) e，则lim(xtan) lim( x t 0xt

t

1

x

1

e

t 0

lim

tsec2t tanttsec2t tant

e

t 0

e

13

t 0

lim

t sintcost2t3cos2t

e

1

t sin2tlim3

2tt 0

e

t 0

lim

1 cos2t(1 cosx)~6t

x2

2

e

t 0 6t

lim

2t2

e

1

1n2

∴lim (ntan) e3 n n

★★2.验证极限lim

x

x sinx

存在，但不能用洛必达法则求出。 x

知识点：洛必达法则。

思路：求导后极限如果不存在，不能说明原式极限不存在，只能说洛必达法则失效。洛必达法则不能解决

所有的未定型极限问题。

x sinxsinxx sinx

lim(1 ) 1 0 1，∴极限lim存在；

x x x xxx

x sinx1 cosx

lim 1 limcosx， 若使用洛必达法则，得lim

x x x x1

解：∵ lim

而limcos

x

x不存在，所以不能用洛必达法则求出。

★★★3.若

f(x)有二阶导数，证明f (x) lim

h 0

f(x h) 2f(x) f(x h)

。 2

h

知识点：导数定义和洛必达法则。

思路：使用洛必达法则，对极限中的函数上下求关于h的导数，然后利用导数定义得结论。

f(x h) 2f(x) f(x h)f (x h) f (x h)

lim证明：∵

h 0h 0h22hf (x h) f (x) f (x) f (x h) limh 02h1f (x h) f (x)1f (x h) f (x) lim lim f//(x)，∴结论成立。 2h 0h2h 0 h

(1 x)x 0 [],

★★★4.讨论函数f(x) 在点x 0处的连续性。 e

x 0

e,

lim