罗尔、拉格朗日、柯西中值定理、洛必达法则与(6)

ax1tanxex ln(1 x) 1sinx

x； （15）lim ()； （16）lim（13）lim(1 )； （14）lim；

x x 0x 0 x 0xxx-arctanx1x1n22x

(ln)；lim(1 sinx)；（17） （18）lim （19）lim(x x)； （20）lim (ntan)。

x 0x x 0 n xn

知识点：洛必达法则。

思路：注意洛必达法则的适用范围。该法则解决的是未定型的极限问题，基本形式为：

1

x

1

00

型与

型未定

式，对于这种形式可连续使用洛必达法则；对于 型与0 型的未定式，可通过通分或者取倒数的形式化为基本形式；对于0型、1型与 型的未定式，可通过取对数等手段化为未定式；此外，还可以结合等价无穷小替换、两个重要的极限、换元等手段使问题简化。

ex e xex e x

lim 2； 解： （1） lim

x 0x 0sinxcosx

（2） lim

sinx sinacosx

lim cosa；

x ax ax a1

cosx

lnsinxsinx limcosx lim sinx 1；

（3）lim lim2ππππ88x (π 2x)x 4(2x π)x 4(2x π)x

2

2

2

2

11 ln(1 )

1 x2x(x 1) lim lim 1； （4）lim

x arccotxx x x(x 1)1

1 x2

7sec27x

lntan7x7cos22x tan2xtan7x lim lim 1； （5）lim

x 0lntan2xx 02sec22xx 0tan7x 2cos27x

tan2x

x3 1 lnx

（6）lim lim

x 1x 1ex e

3x2

1

4；

eex

tanx xsec2x 12tanxsec2x2

lim lim lim 2； （7） lim

x 0x sinxx 01 cosxx 0x 0cos3xsinx

（8）limxcot

x 0

2x lim

x11

lim ；

x 0tan2xx 02sec22x2

1

1

1

（9） limx

x 0

2

ex

2

2x2

1 e3ex2

lim lim limex ； x 01x 0x 02

3

x2x