罗尔、拉格朗日、柯西中值定理、洛必达法则与(5)

又∵

f (x)在[c,d]（或[d,c]）上连续，在(c,d)（或(d,c)）内可导，

(c,d) (a,b)（或ξ (d,c) (a,b)），使得f (ξ) 0，

∴由罗尔中值定理知，至少存在一点ξ这与

f(x)在闭区间[a,b]上满足f (x) 0矛盾。从而结论成立。

方法二：∵f(x)在闭区间[a,b]上满足f (x) 0，∴f (x)在[a,b]单调递增，

从而存在存在唯一的c (a,b)，使得

★★★17.设函数

f (c)

f(b) f(a)

。结论成立。

b a

y f(x)在x 0的某个邻域内具有n阶导数，且

f(0) f (0) f(n 1)(0) 0,试用柯西中值定理证明：

f(x)f(n)(θx)

(0 θ 1)。

n!xn

知识点：柯西中值定理。

思路：对f(x)、g(x) xn在[0,x]上连续使用n次柯西中值定理便可得结论。 证明：∵f(x)、g(x) xn及其各阶导数在[0,x]上连续，在(0,x)上可导，

且在(0,x)每一点处，g

(n 1)

(x) n!x 0，又f(0) f (0) f(n 1)(0) 0,，

∴连续使用n次柯西中值定理得，

f(n 1)(ξn 1) f(n 1)(0)f(x)f(x) f(0)f ( 1)f (ξ1) f (0)

n

xnx g(0)n 1n 1nξ1n 1 g (0)n!ξn 1 g(n 1)(0)

f(n)(θx) (0 θ 1)，从而结论成立。

n!

习题3-2

★★1.用洛必达法则求下列极限：

1ln(1 )

lnsinxsinx sinae e；

（1） lim； （2） lim； （3）lim； （4）lim2πx ax 0x arccotxx-asinxx (π-2x)2

x

x

lntan7xtanx xx3 1 lnx

lim（5）lim； （6）lim； （7）

x 0lntan2xx 0x-sinxx 1ex e

1

； （8）limxcot

x 0

2x；

（9） limx

x 0

2

ex

2

； （10）limx(e

x

1

x

11x1lim( x)；lim( )； 1)； （11） （12）x 0xx 1x-1lnxe 1