交大版线性代数第一章答案(8)

上海交通大学出版

13，（1）

a1 b1xa1x b1

a2 b2xa2x b2a3 b3xa3x b3

c2 1 x2 a2c3a3

c1a1b1b2

b3

c1c2 c3

证明： 第二列乘以( x)加到第一列得

1 x aD 1 x a

1 x a

222

123

a1x b1a2x b2a3x b3

a1

a1

c2 1 x2 a2c3

b1b2b3

c1c2 c3

c1

a1x b1a2x b2a3x b3

c1c2 c3

a3

c2 x c1 c2 1 x2 a2

a3

（2）

a1a2 an 1an

1x 00

0 00

0

0

00

akxn k

k 1n

1 0

x 1

x

证明： 用数学归纳法证明 当n 2时 D2

a1a2

1x

a1x a2 akx2 k 命题成立

k 1

2

假设对于 n 1 阶行列式命题成立 即 Dn 1

ax

kk 1

n 1

n 1 k

则Dn按最后一行展开 有

1x

Dn ( 1)n 1an

0 00

0 1x 00

n 1

00 00

00

000

000 0 1 xDn 1

10

x 10

x

( 1)

n 1

an( 1)

n 1

x akxn 1 k

k 1

an akxn k

k 1

n 1